Pour modéliser la croissance, il existe actuellement des outils comme les automates cellulaires ou les SMA mais également entièrement d'autres approches entièrement formelles.
Ce topic a pour but d'abord de recenser les différents outils mathématiques pour simuler la croissance au niveau d'une ville, d'une région ou plus généralement d'un territoire.
Ensuite, pour ceux qui connaissent les soft dynamiques orientés spatial, existe-t-il des moyens d'intégrer des logiques purement formelles au sein des SMA ou des automates.
Connaissant un peu le formalisme pure, je suis par contre ignorant pour ce qui est de ces nouveaux outils informatiques développés il y a peu dont certains sont en relation directe avec les SIG.

Je ne connais que la loi de Zipf qui exprime la relation entre la taille des villes et leur rang. Ces deux valeurs sont - d'après cette loi - liées par fonction logarithmique. Par exemple la deuxième ville d'un pays est généralement deux fois moins peuplée que la première, la troisième deux fois moins peuplée que la deuxième etc etc. La France est une exception de la loi de Zipf en ce qui concerne les dix premières unités urbaines, elle rattrape la courbe des autres pays à partir de la onzième ville.

Les formalisations les plus connues reposent sur une mise en relation de la population avec le temps. Elles dérivent de la dynamique des systèmes.

La plus classique : la croissance simple dP/dt = aP soit P(t) = Poexp(-at) ou croissance infinie sans contrainte d'espace.

Vient ensuite la croissance limitée par sa propre congestion dP/dt = uP(1-P/Pmax) ou encore P(t) = Pmax/(1+exp(-ut+i)) plus connu sous le nom de modèle logistique, c'est deja une première approche pour les évolutions chaotiques. plus u augmente, plus la suite tend vers des valeurs chaotiques.

Mais en réalité, pour bien simuler une croissance, on raisonne généralement en terme de système, ce qui revient à introduire plusieurs équations différentielles reliées les unes aux autres.
Un des modèles les plus connus est le modèle proie prédateur ou Volterra Lotka.
On peut imaginer l'appliquer pour la croissance d'une agglomération et cela en interaction avec une autre variable par exemple le temps d'accès...
|dP/dt = P(a-bT)
|
|dT/dt = -T(c-dP)
Quand la variable 1 (notée P ici) augmente, la seconde variable (notée T) diminue et inversement.
A l'orgine le modèle a été employé par les biologistes pour simuler l'evolution de deux populations de proies et de predateurs.
On peut bien sur après envisager plethore de systèmes d'équations différentielles. La plupart du temps, il est impossible pour ces derniers de trouver une solution analytique contrairement aux systèmes simples que l'on rencontre au collège ou au lycée.
La complexification intervient avec d'une part la non linéarité des équations mais également avec l'accroissement du nombre de fonctions en présence.
Un exemple de système à trois équations le modèle de Lorenz utilisé en physique cette fois ci : attracteurs etranges 1963
|dx/dt = a(y-x)
|
|dy/dt = bx-y-xz
|
|dz/dt = xy - cz
Dans le cas de trois équations, le chaos intervient s'il existe une variation inverse pour les trois variables. Ici, x, y et z représentent les coordonnées cartésiennes de l'espace en trois dimensions.

Voila ce que je peux apporter brievement sur ce point